Аксиоматики

Поскольку я вообще считаю что любая рефлексия — это математика, любой акт мышления, то мне очень сложно выделить где же начинается математика, в том смысле в котором ее понимают максимальное количество людей. Я думаю математика начинается с аксиоматики. Аксиоматику придумали геометры, в частности Евклид (-300) в своих Началах, дальше Гильберт (1862). Аксиоматика позволяет запаковать реальность в математическую систему в виде набора аксиом и правил вывода. Используя правила вывода просто генерируется весь мир с его законами. Все согласились, что такой подход приемлим и пошли копать. После построения аксиоматики геометрии встал вопрос о фундаменте элементарной математики. Почти паралельно Кантор (1845) предложил оперировать множествами, а все остальные объекты и математические системы моделировать множествами, а Пеано (1858) разработал аксиоматику для числа.

Все казалось очень просто мы имеем множество как универсальный объект (Кантор), на нем строим понятие числа (Пеано) и пространства (Гильберт), на этом всем взлетаем и генерируется наш мир. Так рождалась современная математика, основанная на мыслях пытливых умов, которые много думали о нашем мире. Однако начались проблемы.

Рассел (1872) еще до Гёделя (1906) вксрыл проблему аксиоматики Кантора в виде антиномия: "Одному деревенскому брадобрею приказали брить всякого, кто сам не бреется, и не брить того, кто сам бреется, как он должен поступить с собой?". Или более формально:

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если да, то, по определению K, оно не должно быть элементом K — противоречие. Если нет — то, по определению K, оно должно быть элементом K — вновь противоречие.

Суть тут такая, что объект "множество всех множеств" невыводим в аксиоматике. В ходе реализации описанной программы «спасения» теории множеств было предложено несколько возможных её аксиоматизаций: ZF, ZFC, NBG, NFU (с атомами) и NF (без них), и конструктивные (CST, CZF и IZF), о которых позже. А тут еще Гёдель со своей теоремой о неполноте забил (1931) гвоздь в гроб непротиворечивости: Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка существует такая замкнутая формула, что ни она, ни её отрицание не являются выводимыми в этой теории.

Начался ад. Что же делать зачем нам аксиоматика, если можно строить непротиворечивые теории добаляя любые аксиома до бесконечности ? Аксиома выбора, которая используется в ZFC и в теоремах использующих аксиоматику Пеано. Каждое множество имеет функцию выбора. Не во всех случаях требуется аксиома выбора. Для конечного набора X, аксиома выбора следует из других аксиом теории множеств. В этом случае это то же самое, что говорить, если мы имеем несколько (конечное число) коробок, каждая из которых содержит в себе по одной одинаковой вещи, тогда мы можем выбрать ровно одну вещь из каждой коробки. Ясно, что мы можем сделать это: мы начнём с первой коробки, выберем вещь; отправимся ко второй коробке, выберем вещь; и т. д. Так как есть конечное число коробок, то действуя нашей процедурой выбора, мы придём к концу. Результатом будет функция явного выбора: функция, которая первой коробке сопоставляет первый элемент, который мы выбрали, второй коробке — второй элемент и т.д.

В случае с бесконечным множеством X иногда также можно обойти аксиому выбора. Например, если элементы X — множества натуральных чисел. Каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент, таким образом, определяя нашу функцию выбора, мы можем просто сказать, что каждому множеству сопоставляется наименьший элемент набора. Это даёт нам сделать выбор элемента из каждого множества, поэтому мы можем записать явное выражение, которое говорит нам, какое значение наша функция выбора принимает. Если возможно таким образом определить функцию выбора, в аксиоме выбора нет необходимости.

Сложности появляются в случае, если невозможно осуществить естественный выбор элементов из каждого множества. Если мы не можем сделать явный выбор, то почему уверены, что такой выбор можно совершить в принципе? Например, пусть X — это множество непустых подмножеств действительных чисел. Во-первых, мы могли бы поступить как в случае, если бы X было конечным. Если мы попробуем выбрать элемент из каждого множества, тогда, так как X бесконечно, наша процедура выбора никогда не придёт к концу, и вследствие этого мы никогда не получим функции выбора для всего X. Так что это не срабатывает. Далее, мы можем попробовать определить наименьший элемент из каждого множества. Но некоторые подмножества действительных чисел не содержат наименьший элемент. Например, таким подмножеством является открытый интервал (0, 1). Если x принадлежит (0, 1), то x/2 также принадлежит ему, причем меньше, чем x. Итак, выбор наименьшего элемента тоже не работает.

Парадокс лжеца тоже неискушенный ум приведет в ярость:

То, что я утверждаю сейчас, ложно

Обычно его приводят к виду "А ИСТИНА И А ЛОЖЬ", что является ложью, но в принципе это высказывание противоречит аксиоме исключающего третьего классической логики. Установление истинности высказывания вида «А или не А» означает установление истинности A или истинности его отрицания. Поскольку не существует общего метода, позволяющего для каждого высказывания за конечное число шагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключенного третьего подвергается критике со стороны представителей интуиционистского и конструктивного направлений в основаниях математики.

Закон двойного отрицания

Не Не А равно А

В рамках конструктивных рассмотрений, когда действует требование алгоритмической реализуемости обоснования математических суждений, вообще говоря, неприемлем, так же как и предыдущий.

Итак мы имеет такой набор проблем: Аксиома выбора (число), Закон исключающего третьего (логика, аксиома логического вывода), Множество всех множеств (теория множеств), Теорема о неполноте (модификации набора аксиом с сохранением непротиворечивости).

Противочерия обнаружились во всех аксиоматиках. Было предложено опрерировать этими "проблемными" аксиомами с осторожностью господином Брауэром (1966).

Так классическая теоретико-множественная математика от Кантора включает в себя весь список этих аксиом которые заставляют задумываться. А математика конструктиная, которая избегает бесконечных алгоритмических построений в своих выводах, их все откидает и пытается строить доказательства не используя эти опасные аксиомы. Это течение в математике называется интуиционизмом.

Более того, в конструктивной математике может быть опровергнуто на примерах утверждение об эквивалентности непрерывности отображения по Коши и по Гейне, доказываемое в классическом анализе на основе привлечения сильных теоретико-множественных средств (в частности, аксиомы выбора).

Таким образом, оказалось, что не то что наш мир, сама математика оказалась открытой — не существует конечной совокупности принципов, из которых с помощью последовательного использования правил математической логики можно вывести все положения математики. И это прекрасно, ибо математика не сухая роботизированная штука, в ней самой, а стало быть, в самом мышлении и рефлексии есть противоречия, как неотъемлимая часть восприятия, которые формируют узоры математических теорий, моделей и абстракций, где каждая противоречит другой, а зачастую и сама себе, но тем не менее адекватно с нашей точки зрения описывает восприятие.